Issue 8

E. Sacco et alii, Frattura ed Integrità Strutturale, 8 (2009) 3-20; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.08.01 8 Il processo di analisi viene infatti diviso in un numero finito di passi; all’istante n t si assume nota la soluzione, le quantità valutate al tempo n t sono contraddistinte dal pedice , mentre le quantità al tempo attuale  1 n t non presentano alcun indice. Lo schema di integrazione adottato è il seguente: - si assume noto lo spostamento relativo di interfaccia s ; - si determina il valore del parametro di danno D tramite le formule (14)-(18); - si valuta la tensione di prova della zona danneggiata attraverso l’espressione:      ( ) d el n τ K s c p (19) - si determina il valore della funzione limite    d el τ utilizzando la formula (10) . - se     0 d el τ ,  n p p e  d d el τ τ ; - se     0 d el τ lo spostamento inelastico deve essere aggiornato tramite le seguenti relazioni:                         0 1 d d d T el n N el T el T d T el K p p (20) - si determina la tensione all’interfaccia tramite l ’Eq. (8). La procedura di integrazione descritta è implementata in un elemento finito interfaccia a quattro nodi, con due gradi di libertà per nodo, e spessore nullo. In definitiva, nel generico passo temporale finito, si tratta di risolvere il sistema algebrico non lineare scritto in forma residuale:                ˆ; ˆ ˆ ˆ ˆ ; R Λ U U F 0 R Λ U U F 0 (21) dove i vettori  U e ˆ U rappresentano gli spostamenti nodali liberi incogniti e vincolati, rispettivamente, mentre  F e ˆ F sono le forze esterne assegnate e le reazioni vincolari incognite. Il problema algebrico non lineare è risolto sviluppando una procedura iterativa di tipo Newton-Raphson; alla k- esima iterazione, la soluzione si determina tramite le relazioni:                     1 1 , 1 , 1 ˆ ˆ ˆ k t k k k k t k k UU UU U K R F R K U (22) dove             , , ˆ ˆ t k t k k k UU UU R R K K U U (23) La successione converge quando i residui  k R e ˆ k R tendono a zero. Si definisce errore alla k- esima iterazione, la quantità scalare:  1 k k e R R (24) La soluzione viene considerata soddisfacente quando accade che l’errore è più piccolo di una prefissata tolleranza,  k e tol . Il calcolo delle matrici tangenti   , t k UU K e  , ˆ t k UU K richiedono la determinazione della derivata consistente con l’algoritmo di integrazione nel tempo del legame  τ s . Si tratta allora di determinare la derivata   / τ s . Tenuto conto dell ’Eq. (8) si ha: n