Issue 8
E. Sacco et alii, Frattura ed Integrità Strutturale, 8 (2009) 3-20; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.08.01 8 Il processo di analisi viene infatti diviso in un numero finito di passi; all’istante n t si assume nota la soluzione, le quantità valutate al tempo n t sono contraddistinte dal pedice , mentre le quantità al tempo attuale 1 n t non presentano alcun indice. Lo schema di integrazione adottato è il seguente: - si assume noto lo spostamento relativo di interfaccia s ; - si determina il valore del parametro di danno D tramite le formule (14)-(18); - si valuta la tensione di prova della zona danneggiata attraverso l’espressione: ( ) d el n τ K s c p (19) - si determina il valore della funzione limite d el τ utilizzando la formula (10) . - se 0 d el τ , n p p e d d el τ τ ; - se 0 d el τ lo spostamento inelastico deve essere aggiornato tramite le seguenti relazioni: 0 1 d d d T el n N el T el T d T el K p p (20) - si determina la tensione all’interfaccia tramite l ’Eq. (8). La procedura di integrazione descritta è implementata in un elemento finito interfaccia a quattro nodi, con due gradi di libertà per nodo, e spessore nullo. In definitiva, nel generico passo temporale finito, si tratta di risolvere il sistema algebrico non lineare scritto in forma residuale: ˆ; ˆ ˆ ˆ ˆ ; R Λ U U F 0 R Λ U U F 0 (21) dove i vettori U e ˆ U rappresentano gli spostamenti nodali liberi incogniti e vincolati, rispettivamente, mentre F e ˆ F sono le forze esterne assegnate e le reazioni vincolari incognite. Il problema algebrico non lineare è risolto sviluppando una procedura iterativa di tipo Newton-Raphson; alla k- esima iterazione, la soluzione si determina tramite le relazioni: 1 1 , 1 , 1 ˆ ˆ ˆ k t k k k k t k k UU UU U K R F R K U (22) dove , , ˆ ˆ t k t k k k UU UU R R K K U U (23) La successione converge quando i residui k R e ˆ k R tendono a zero. Si definisce errore alla k- esima iterazione, la quantità scalare: 1 k k e R R (24) La soluzione viene considerata soddisfacente quando accade che l’errore è più piccolo di una prefissata tolleranza, k e tol . Il calcolo delle matrici tangenti , t k UU K e , ˆ t k UU K richiedono la determinazione della derivata consistente con l’algoritmo di integrazione nel tempo del legame τ s . Si tratta allora di determinare la derivata / τ s . Tenuto conto dell ’Eq. (8) si ha: n
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