Issue 7

M. Zappalorto et alii, Frattura ed Integrità Strutturale, 7 (2009) 29-56; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.07.03 45 le equazioni di equilibrio e compatibilità possono essere riscritte com e[13]: 0 y x zy zx = τ∂ ∂ + τ∂ ∂ 0 y x zx zy = γ∂ ∂ − γ∂ ∂ (64a-b) purchè lo Jacobiano delle trasformazioni non sia nullo. Inoltre introducendo un sistema di coordinate polari nel piano delle tensioni: cos τ sin - τ zy zx ϕ τ= ϕ τ= (65) è possible riscrivere le coordinate (x,y) nella seguente forma: cos sin y sin cos x zx zy τ ϕ ϕ∂ ψ∂ −ϕ τ∂ ψ∂ −= τ∂ ψ∂ = τ ϕ ϕ∂ ψ∂ +ϕ τ∂ ψ∂ −= τ∂ ψ∂ −= (66) Sostituendo le Eq.66 nell’equazione di compatibilità inversa e utilizzando la legge costitutiva del materiale si ottiene: 0 1 1 n 1 2 2 2 2 2 = ϕ∂ ψ∂ τ + τ∂ ψ∂ τ + τ∂ ψ∂ (67) L’Eq. 67 è un’equazione di Eulero che ammette soluzioni nella forma: ) (~ ) ,( m ϕψτ=ϕτψ (68) Sostituendo la (66) n ella (65) si ottiene: ( ) 0 ) (''~ m1mm n 1) (~ =ϕψ+    +− ϕψ (69) e quindi: ( ) m1mm n 1 ), cos c sin c( ) ,( 2 1 m +− =ω ϕω +ϕω τ=ϕτψ (70) E’ possibile a questo punto risolvere il problema di Neumann, specificando il valore della derivata prima della funzione ) , ( ϕ τ ψ sul confine del dominio di integrazione (ovvero sul confine elastoplastico). Se si ipotizza quindi che, in analogia con il caso elastico perfettamente plastico, l’origine del sistema di riferimento risulti traslato rispetto al centro del confine elastoplastico di una quantità pari a k pz R , con k <1.0, (vedi Fig. 14) , dalle equazioni lineari elastiche si ottiene: 0 zx pz e 3 zx 0 zy pz e 3 zy R2 K 2 sin R2 K 2 cos τ τ −= π τ −= ϕ τ τ = π τ = ϕ Ω ρ Ω Ω ρ Ω (71) Quindi dall e Eq. 65, 71 si ha: