Issue 7

M. Zappalorto et alii,, Frattura ed Integrità Strutturale, 7 (2009) 29-56; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.07.03 42 x y zy zx ∂ φ∂ −=τ ∂ φ∂ =τ (48) Introducendo φ nell’equazione (46) e chiamando x / p ∂ ∂= φ and y / q ∂ ∂= φ si ottiene: 2 0 2 2 q p τ= + (49) L’equazione (49) può essere convertita in un sistema di equazioni differenziali ordinarie utilizzando il metodo di Charpit- Lagrange [25-27]. Il sistema risulta:            =      φ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ =      φ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 Fq y F s q 0 Fp x F s p q2 q F s y p2 p F s x (50) dove s è una variabile ausiliaria. Integrando rispetto a s e utilizzando i valori iniziali per s =0, cioè quando r = R pz , è possibile determinare le costanti c i e quindi le variabili x, y, p, q : t q t 1 p t 1tR2 ts 2 y )t21(Rst 1 2 x 0 2 0 2 pz 0 2 pz 2 0 τ−= − τ−= − + τ−= − + − τ−= (51) laddove 2 sin ϕ = t . Il parametro ausiliario t può ora essere determinato in funzione delle coordinate fisiche x e y: ( ) 2 2 pz y Rx y t + + = (52) Quindi, le espressioni finali per le tensioni nella zona plastica risultano: ( ) ( ) 2 2 pz pz 0 zy 2 2 pz 0 zx y Rx Rx y Rx y + + + τ=τ + + τ−=τ (53) Definiamo ora un nuovo sistema di riferimento con origine O’, traslato di pz R nella direzione x (vedi Fig. 12) . Le coordinate rispetto a O’ risultano quindi: ( ) 2 2 pz y Rx r + + =         + =ϕ pz Rx y arctan (54)