Issue 7

M. Zappalorto et alii, Frattura ed Integrità Strutturale, 7 (2009) 29-56 ; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.07.03 37 η −ξ ξ η −ξ η −=τ η −ξ ξ η +ξ η =τ 2 cos 2 cosh cosh sinA2 sinh cos A2 2 cos 2 cosh cosh sinA2 sinh cos A2 1 2 zy 2 1 zx (25) Imponendo le seguenti condizioni al contorno: 0 A 0 2 cos 1 sin A2 2 0 0 2 0 0 zx = →= η − η = τ =ξ η=η , ρ + τ=→ − = τ a 1 K A a c cA net ,t * 1 2 2 1 max le distribuzioni di tensione assumono la seguente forma: η −ξ ξ η ρ + τ=τ η −ξ ξ η ρ + τ=τ 2 cos 2 cosh cosh sin a 1 K2 2 cos 2 cosh sinh cos a 1 K2 net ,t * zy net ,t * zx (26) La soluzione ottenuta, che risulta matematicamente esatta solo nel caso di taglio antiplanare uniforme, può tuttavia essere applicata anche ad alberi soggetti a torsione; è però necessario tenere in considerazione l’andamento decrescente lineare della tensione nominale nella sezione, semplicemente con l’aggiunta alle espressioni delle tensioni di un fattore correttivo: ( ) ( ) η −ξ ξ η ξ η ⋅ ρ + τ=τ η −ξ ξ η ξ η ⋅ ρ + τ=τ 2 cos 2 cosh cosh cos cosh 2 sin a 1 K 2 cos 2 cosh cosh cos 2 sinh cos a 1 K * 0 2 net ,t * zy * 0 2 net ,t * zx (27) L’espressione del fattore teorico di concentrazione delle tensioni può, a questo punto, essere ottenuto con un’equazione di equilibrio sulla sezione netta: xdA xdA )x( A zy A ∫ ∫ τ = τ (28) che fornisce:       + ρ +       + ρ + = 1 a 21 1 a 1 4 3 K 2 net ,t (29) in accordo con Neuber [1]. Le Figure 7 e 8 m ostrano un confronto tra i risultati analitici e quelli di alcune analisi agli elementi finiti condotte su alberi in cui la dimensione dell’intaglio è molto superiore rispetto al raggio netto dell’albero (intaglio “ deep ”); l’accordo appare molto soddisfacente.