Issue 7

M. Zappalorto et alii,, Frattura ed Integrità Strutturale, 7 (2009) 29-56 ; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.07.03 34 zx zy 2 2 i a z z τ+τ= − τ (10) dove a è la lunghezza della cricca. Si noti come l’espressione posta alla sinistra nell’equazione (10) c oincida esattamente con la funzione di tensione di Westergaard per il modo III. Dall’equazione (10) è quindi agevole determinare dapprima l’espressione del fattore di intensificazione delle tensioni: a )ax(2 lim K 0y zy a x III πτ= τ − π = = → (11) e quindi l’espressione delle tensioni in un intorno dell’apice della cricca:                   ϕ       ϕ − π =                   ϕ       ϕ − τ =       τ τ 2 cos 2 sin r2 K 2 cos 2 sin r2 a III zy zx (12) Intaglio semicircolare su albero infinito . In linea di principio il sistema di coordinate ellittiche utilizzato nella soluzione precedente non è più valido nel caso di intaglio circolare, quando a=b (c=0), che comporta una discontinuità matematica nella definizione del sistema in questione. Nonostante ciò si può notare che la soluzione precedente continua a essere valida anche quando il rapporto a/b è molto vicino a 1, permettendo quindi di trattare l’intaglio semicircolare come il limite per 1 (a/b) → . Quest’idea è confermata da analisi agli elementi finiti condotte su alberi quasi infiniti (a/R=0.005) indeboliti da intagli semiellittici con a/b =1.001, come mostrato in Fig. 5. 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 η [degrees] Eq (9) FEM FEM a=1 R=200 a/b=1.001 τ zj / τ τ zx / τ τ zy / τ 2R a M t M t Figura 5: Componenti di tensione zy τ and zx τ sul bordo dell’intaglio nel caso di un intaglio che può essere considerato semicircolare (a/b=1.001). Le tensioni sono normalizzate rispetto alla tensione nominale. Condizioni al contorno per un albero di sezione finita . Come prima approssimazione nel caso di alberi intagliati a diametro finito è possibile mantenere per il potenziale complesso la medesima forma, e modificare in modo opportuno solo le condizioni al contorno; infatti le condizioni poste nella precedente trattazione all’infinito non risultano più valide. Il nuovo sistema di condizioni al contorno risulta quindi: - 0 1 2 cosh 2 sinh BA 1 1 2 zx = +ξ ξ + = τ π =η (13) - 0 a bB A 1 2 cosh 2 sinh B A 2 2 0 0 2 2 2 zy 0 = − −= +ξ ξ − −= τ π =η ξ=ξ (14)