Issue 7

M. Zappalorto et alii, Frattura ed Integrità Strutturale, 7 (2009) 29-56; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.07.03 33 e quindi il fattore teorico di concentrazione delle tensioni risulta a/b 1 K t += , in accordo con Neuber [1]. La soluzione ottenuta, che risulta matematicamente esatta solo nel caso di un albero di diametro infinito, può tuttavia essere applicata anche ad alberi di dimensione finita, almeno fino a quando il rapporto a/R è inferiore a 0.05, con errori nella determinazione della tensione massima inferiori al 10%. Per fare ciò è però necessario tenere in considerazione l’andamento decrescente lineare della tensione nominale nella sezione, semplicemente con l’aggiunta alle espressioni delle tensioni di un fattore correttivo: ( ) ( )       ξ η − + ξ −ξ η −                   η −ξ η − τ−       − η −ξ ξ − τ =       τ τ 0 0 zx zy cosh cos c a R cosh cosh cos c 1 2 cos 2 cosh 2 sin b a a b 2 cos 2 cosh 2 sinh a b a (9) Le Fig. 3 e 4 m ostrano un confronto tra i risultati analitici e i risultati di alcune analisi agli elementi finiti condotte su alberi in cui la dimensione dell’intaglio è molto inferiore rispetto al raggio netto dell’albero. L’accordo appare molto soddisfacente. 0 1 2 3 1 10 100 x [mm] FEM Eq. (9) a=1 R=200 a/b=2 2R a M t τ zy / τ M t Figura 3 : Componente di tensione zy τ lungo la bisettrice geometrica dell’intaglio. Le tensioni sono normalizzate rispetto alla tensione nominale. 0 90 η [degrees] Eq. (9) FEM, a'=4, a'/b'=2 FEM, a'=60, a'/b'=2 a=1 R=200 a/b=2 τ zj / τ 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.0 τ zy / τ τ zy / τ τ zx / τ Figura 4 : Componenti di tensione lungo due percorsi ellittici centrati nell’origine del sistema di riferimento (x,y); a’=4 mm e a’=60 mm, mentre a’/b’=2. Le tensioni sono normalizzate rispetto alla tensione nominale. Cricca circonferenziale su albero infinito . La cricca circonferenziale può essere trattata da un punto di vista matematico come un intaglio semiellittico in cui il semiasse minore b tende a zero. Utilizzando quindi i risultati della precedente sessione per intagli semiellittici, è possibile scrivere: