Issue 7

M. Zappalorto et alii,, Frattura ed Integrità Strutturale, 7 (2009) 29-56; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.07.03 32 L’equazione (2) può essere invertita per x, y>0. Si ottiene: cln 2 sinAy 2 cosAx ln 2 2 −      β + +      β + =ξ ,       ξ =η sinh c y arcsin (3) e ciò permette, una volta note le coordinate fisiche di un punto nel piano ( x,y ), di determinare i valori corrispondenti delle variabili trasformate. I parametri A e β sono forniti in forma chiusa nel riferimento [17]. Si consideri un intaglio circonferenziale semiellittico in un albero assialsimmetrico intagliato e soggetto a torsione. Il potenziale che utilizzeremo per ottenere la soluzione presenta la seguente forma: ζ +ζ = sinh Bc cosh Ac )z(H (4) Quindi, poichè: ζ ζ sinh c z = ∂ ∂ , è possibile scrivere:       η −ξ η − η −ξ ξ + + +      η −ξ η + η −ξ ξ + = ζ + + + = ∂ ζ∂ ⋅ ζ∂ ∂ = 2 cos 2 cosh 2 sin B 2 cos 2 cosh 2 sinh B Ai 2 cos 2 cosh 2 sin B 2 cos 2 cosh 2 sinh BA coth ) iB B( ) iA A( z )z(H )z('H 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 (5) L’espressione generale delle tensioni risulta quindi: η −ξ η + η −ξ ξ − −= τ η −ξ η + η −ξ ξ + = τ 2 cos 2 cosh 2 sin B 2 cos 2 cosh 2 sinh B A 2 cos 2 cosh 2 sin B 2 cos 2 cosh 2 sinh B A 1 2 2 zy 2 1 1 zx (6) Condizioni al contorno per un albero di sezione infinita . Se l’intaglio ha dimensioni infinite, le condizioni al contorno possono essere espresse nella seguente forma: - Se ∞→ z , τ τ = zy e 0 zx = τ , dove τ è la tensione di taglio nominale; - Sul bordo dell’intaglio ( 0 ξ ξ = ), 0 z = ξ τ . Quando ( 0 ξ ξ = ) e ( 2 π η = ) allora ξ τ=τ z zy ; - Quando 2 π η = , 0 zx = τ . Sostituendo le condizioni al contorno nelle Eq. 6 si ottengono i coefficienti A i e B i e le tensioni risultano quindi:       η −ξ η − τ −= τ       − η −ξ ξ − τ = τ 2 cos 2 cosh 2 sin b a a b 2 cos 2 cosh 2 sinh a b a zx zy (7) All’apice dell’intaglio l e Eq. 7 danno:       + τ=      − −ξ ξ − τ = τ ξ=ξ =η b a 1 b 1 2 cosh 2 sinh a b a 0 0 0 zy 0 (8)