Issue 7

A. Carpinteri et alii, Frattura ed Integrità Strutturale, 7 (2009) 17- 28 ; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.07.02 23 Le relazioni σ − w determinate per le prove sperimentali di Ferrara e Gobbi sono riportate i n Fig. 6b. Come si può vedere, le curve rappresentative del comportamento di softening collassano in una banda molto ristretta, confermando la scarsa dipendenza della legge di overlapping dalla snellezza e dalla scala del provino. Figura 7 : Procedura per ottenere la legge di overlapping a partire dal legame tensione-schiacciamento totale, δ . Legge costitutiva dell’armatura Nella pratica corrente, le leggi costitutive maggiormente utilizzate per descrivere il comportamento dell’acciaio sono definite in campo σ − ε , quali, ad esempio, quella elasto-plastica e quella elasto-incrudente. Nel nuovo modello che viene qui proposto, non è possibile utilizzare siffatte relazioni in quanto la sezione di mezzeria del concio analizzato è cinematicamente descritta mediante spostamenti anziché deformazioni. Sarà pertanto necessario introdurre una legge che leghi la tensione agente nell’armatura con l’apertura della fessura in corrispondenza del rinforzo stesso. In passato tale problema è stato risolto in modo semplice ma efficace imponendo un comportamento di tipo rigido-plastico, cioè imponendo che l’apertura della fessura sia nulla fino a che l’armatura non si snervi [27]. Nel presente modello si vuole invece adottare un approccio più vicino alla realtà, nella quale l’apertura della fessura è ammessa anche in assenza di snervamento dell’acciaio. Ciò è reso possibile dagli scorrimenti relativi tra calcestruzzo e armatura. Le tipiche relazioni tra scorrimento e aderenza sono definite in termini di tensioni tangenziali tra acciaio e calcestruzzo in funzione degli spostamenti relativi tra i due materiali [2] . L’integrazione degli scorrimenti lungo la lunghezza di trasferimento è pari a metà dell’apertura della fessura in corrispondenza del rinforzo. D’altra parte, l’integrazione delle tensioni tangenziali è pari alla reazione dell’armatura. Al fine di semplificare i calcoli, è stata assunta una legge lineare fino al raggiungimento dello snervamento dell’acciaio, e costante successivamente. Il parametro caratterizzante tale relazione è pertanto l’apertura corrispondente allo snervamento, w y , che è stata assunta pari a 0.3 mm. Algoritmo numerico Nel modello numerico il concio di trave da analizzare è considerato come costituito da due parti simmetriche aventi comportamento perfettamente elastico e connesse tra loro mediante n coppie di nodi lungo la sezione di mezzeria, come rappresentato in Fig. 8. In corrispondenza di tali nodi agiranno le forze nodali equivalenti coesive e di overlapping e la forza di richiusura esercitata dall’armatura. Tutte queste forze dipendono dagli spostamenti nodali di apertura della fessura e di sovrapposizione nella zona di crushing , secondo le leggi costitutive introdotte nei precedenti paragrafi. Così facendo, nella sezione di mezzeria saranno concentrati i contributi di non-linearità. Con riferimento alla Fig. 8, le forze nodali orizzontali agenti sulla sezione di mezzeria sono date dalla seguente espressione: { } [ ] { } { } MK wK F M w + = (6) dove: { F } è il vettore delle forze nodali, [ K w ] è la matrice dei coefficienti di influenza per gli spostamenti nodali, { w } è il vettore degli spostamenti nodali, { K M } è il vettore dei coefficienti di influenza per il momento applicato ed M è il momento applicato. I coefficienti di influenza, ij w K , presentano la dimensione fisica di una rigidezza e sono calcolati a priori con un’analisi agli elementi finiti, imponendo spostamenti unitari a ciascuno degli n nodi in Fig. 8. Nella generica situazione che si verifica durante il processo di carico, rappresentata in Fig. 9, si considerano le seguenti equazioni: 0 i = F per i = 1, 2, …, ( j − 1); i ≠ r (7a)